《概率論與數理統計》第一章 - 習題及答案 - 下載本文

系統II 作”

系統I

1 n+1 1 n+1 2 n+2 2 n+2 n 2n n 2n 解:令A? “系統(Ⅰ)正常工作” B? “系統(Ⅱ)正常工Ai?“第i個元件正常工作”,i?1,2,?,2n P(Ai)?P,A1,A2,?,A2n相互獨立。 那么

P(A)?P?(A1A2?An)?(An?1An?2?A2n)?

?P(A1A2?An)??P?(An?1An?2?A2n)?P(A1A2?A2n)??P(Ai)?i?1ni?n?1???P(A)??P(A)iii?12n2n

?2Pn?P2n?Pn(2?Pn)P(B)?P[(A1?An?1)(A2?An?2)???(An?A2n)]??P(Ai?An?i)i?1nn

注:利用第7題的方法可以證 明(Ai?An?i)與(Aj?An?j)

i?j時獨立。

??[P(Ai)?P(An?i)?P(Ai)P(An?i)]

i?1n??[2P?P2]?Pn(2?P)ni?1

10. 10張獎券中含有4張中獎的獎券,每人購買1張,求 (1) 前三人中恰有一人中獎的概率; (2) 第二人中獎的概率。

解:令Ai?“第i個人中獎”,i?1,2,3 (1)

P(A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3) ?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)

?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)4656546451????????? 1098109810982

?或

12C4C61P??32C10

(2)P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)

?43642???? 1091095

11. 在肝癌診斷中,有一種甲胎蛋白法,用這種方法能夠檢查出95%的真實患者,但也有可能將10%的人誤診。根據以往的記錄,每10 000人中有4人患有肝癌,試求:

(1)某人經此檢驗法診斷患有肝癌的概率;

(2)已知某人經此檢驗法檢驗患有肝癌,而他確實是肝癌患者的概率。

解:

令B?“被檢驗者患有肝癌”, A?“用該檢驗法診斷被檢驗者患有肝癌”

那么,

P(A|B)?0.95,P(A|B)?0.10,P(B)?0.0004 (1)P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B) ?0.0004?0.95?0.9996?0.1?0.10034

(2)P(B|A)? ?

P(B)P(A|B)

P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)0.0004?0.95??0.0038

0.0004?0.95?0.9996?0.1 12. 一大批產品的優質品率為30%,每次任取1件,連續抽取5次,計算下列事件的概率:

(1)取到的5件產品中恰有2件是優質品;

(2) 在取到的5件產品中已發現有1件是優質品,這5件中恰有2件是優質品。

解:令Bi?“5件中有i件優質品”,i?0,1,2,3,4,5

2(1)P(B2)?C5(0.3)2(0.7)3??0.3087

5(2)P(B2|?Bi)?P(B2|B0)?i?1P(B2B0)

P(B0) ?

P(B2)0.3087???0.371

1?P(B0)1?(0.7)513. 每箱產品有10件,其次品數從0到2是等可能的。開箱檢驗時,從中任取1件,如果檢驗是次品,則認為該箱產品不合格而拒收。假設由于檢驗有誤,1件正品被誤檢是次品的概率是2%,1件次品被誤判是正品的概率是5%,試計算:

(1)抽取的1件產品為正品的概率; (2)該箱產品通過驗收的概率。 解:令A? “抽取一件產品為正品”

Ai?“箱中有i件次品”,i?0,1,2

B? “該箱產品通過驗收”

110?i(1)P(A)??P(Ai)P(A|Ai)????0.9

10i?0i?0322(2)P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A) ?0.9?0.98?0.1?0.05?0.887

14. 假設一廠家生產的儀器,以概率0.70可以直接出廠,以概率0.30需進一步調試,經調試后以概率0.80可以出廠,并以概率0.20定為不合格品不能出廠。現該廠新生產了n(n?2)臺儀器(假設各臺儀器的生產過程相互獨立),求:

(1)全部能出廠的概率;

(2)其中恰有2件不能出廠的概率; (3)其中至少有2件不能出廠的概率。

解:令A? “儀器需進一步調試” ;B? “儀器能出廠”

A? “儀器能直接出廠” ;AB? “儀器經調試后能出廠”

顯然B?A?AB,

那么P(A)?0.3,P(B|A)?0.8

P(AB)?PA)P(B|A)?0.3?0.8?0.24

所以P(B)?P(A)?P(AB)?0.7?0.24?0.94 令Bi?“n件中恰有i件儀器能出廠”,i?0,1,?,n (1)P(Bn)?(0.94)n

n?22(2)P(Bn?2)?Cn(0.94)n?2(0.06)2?Cn(0.94)n?2(0.06)2

(3)P(?Bk)?1?P(Bn?1)?P(Bn)?1?Cn0.06(0.94)1k?0n?2n?1?(0.94)n

15. 進行一系列獨立試驗,每次試驗成功的概率均為p,試求以下事件的概率:

(1)直到第r次才成功; (2)第r次成功之前恰失敗k次; (3)在n次中取得r(1?r?n)次成功; (4)直到第n次才取得r(1?r?n)次成功。 解:

(1)P?p(1?p)r?1

?1rk(2)P?Crr? p(1?p)k?1rr(3)P?Cnp(1?p)n?r r?1rn?r(4)P?Cn p(1?p)?1

16. 對飛機進行3次獨立射擊,第一次射擊命中率為0.4,第二次為0.5,第三次為0.7. 擊中飛機一次而飛機被擊落的概率為0.2,擊中飛機二次而飛機被擊落的概率為0.6,若被擊中三次,則飛機必被擊落。求射擊三次飛機未被擊落的概率。

解:令Ai?“恰有i次擊中飛機”,i?0,1,2,3

B? “飛機被擊落”

顯然:

P(A0)?(1?0.4)(1?0.5)(1?0.7)?0.09

P(A1)?0.4?(1?0.5)?(1?0.7)?(1?0.4)?0.5?(1?0.7)?(1?0.4)?(1?0.5)?0.7?0.36P(A2)?0.4?0.5?(1?0.7)?0.4?(1?0.5)?0.7?(1?0.4)?0.5?0.7?0.41P(A3)?0.4?0.5?0.7?0.14

而P(B|A0)?0,P(B|A1)?0.2,P(B|A2)?0.6,P(B|A3)?1 所以





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