2019年全國各地中考數學試題分類匯編(二) 專題27 銳角三角函數與特殊角(含解析) - 下載本文

銳角三角函數與特殊角

一.選擇題

1. (2019?天津?3分)2sin60?的值等于

A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 【答案】B

【解析】銳角三角函數計算,2sin60?=2×

2.(2019?四川自貢?4分)如圖,在由10個完全相同的正三角形構成的網格圖中,∠α、∠β如圖所示,則cos(α+β)=

3=3,故選A. 2

【分析】給圖中各點標上字母,連接DE,利用等腰三角形的性質及三角形內角和定理可得出∠α=30°,同理,可得出:∠CDE=∠CED=30°=∠α,由∠AEC=60°結合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°,設等邊三角形的邊長為a,則AE=2a,DE=再結合余弦的定義即可求出cos(α+β)的值. 【解答】解:給圖中各點標上字母,連接DE,如圖所示. 在△ABC中,∠ABC=120°,BA=BC, ∴∠α=30°.

同理,可得出:∠CDE=∠CED=30°=∠α. 又∵∠AEC=60°,

∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°.

設等邊三角形的邊長為a,則AE=2a,DE=2×sin60°?a=∴AD=

a,利用勾股定理可得出AD的長,

a,

a,

∴cos(α+β)==.

故答案為:.

【點評】本題考查了解直角三角形、等邊三角形的性質以及規律型:圖形的變化類,構造出含一個銳角等于∠α+∠β的直角三角形是解題的關鍵.

3.(2019?浙江杭州?3分)如圖,一塊矩形木板ABCD斜靠在墻邊(OC⊥OB,點A,B,C,D,O在同一平面內),已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,則點A到OC的距離等于( )

A.asinx+bsinx C.asinx+bcosx

B.acosx+bcosx D.acosx+bsinx

【分析】根據題意,作出合適的輔助線,然后利用銳角三角函數即可表示出點A到OC的距離,本題得以解決.

【解答】解:作AE⊥OC于點E,作AF⊥OB于點F, ∵四邊形ABCD是矩形, ∴∠ABC=90°,

∵∠ABC=∠AEC,∠BCO=x, ∴∠EAB=x, ∴∠FBA=x,

∵AB=a,AD=b,

∴FO=FB+BO=a?cosx+b?sinx, 故選:D.

【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題、矩形的性質,解答本題的關鍵是明確題意,利用數形結合的思想解答. 4. 二.填空題

1. (2019?江蘇宿遷?3分)如圖,∠MAN=60°,若△ABC的頂點B在射線AM上,且AB=2,點C在射線AN上運動,當△ABC是銳角三角形時,BC的取值范圍是 <BC< .

【分析】當點C在射線AN上運動,△ABC的形狀由鈍角三角形到直角三角形再到鈍角三角形,畫出相應的圖形,根據運動三角形的變化,構造特殊情況下,即直角三角形時的BC的值. 【解答】解:如圖,過點B作BC1⊥AN,垂足為C1,BC2⊥AM,交AN于點C2 在Rt△ABC1中,AB=2,∠A=60° ∴∠ABC1=30°

∴AC1=AB=1,由勾股定理得:BC1=

在Rt△ABC2中,AB=2,∠A=60° ∴∠AC2B=30°

∴AC2=4,由勾股定理得:BC2=2,

<BC<2

當△ABC是銳角三角形時,點C在C1C2上移動,此時故答案為:

<BC<2

【點評】本題考查解直角三角形,構造直角三角形,利用特殊直角三角形的邊角關系或利用勾股定理求解.考察直角三角形中30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半,勾股定理等知識點.

2. (2019?浙江杭州?4分)在直角三角形ABC中,若2AB=AC,則cosC=

【分析】討論:若∠B=90°,設AB=x,則AC=2x,利用勾股定理計算出BC=x,然后根據余

x,然后

弦的定義求cosC的值;若∠A=90°,設AB=x,則AC=2x,利用勾股定理計算出BC=根據余弦的定義求cosC的值.

【解答】解:若∠B=90°,設AB=x,則AC=2x,所以BC=

x,所以cosC=

==;

若∠A=90°,設AB=x,則AC=2x,所以BC==x,所以cosC===

綜上所述,cosC的值為或.

故答案為或.

【點評】本題考查了銳角三角函數的定義:熟練掌握銳角三角函數的定義,靈活運用它們進行幾何計算.

3. (2019?浙江湖州?12分)如圖1,已知在平面直角坐標系xOy中,四邊形OABC是矩形,點A,C分別在x軸和y軸的正半軸上,連結AC,OA=3,tan∠OAC=(1)求OC的長和點D的坐標;

(2)如圖2,M是線段OC上的點,OM=OC,點P是線段OM上的一個動點,經過P,D,B三點的拋物線交x軸的正半軸于點E,連結DE交AB于點F.

①將△DBF沿DE所在的直線翻折,若點B恰好落在AC上,求此時BF的長和點E的坐標; ②以線段DF為邊,在DF所在直線的右上方作等邊△DFG,當動點P從點O運動到點M時,點G也隨之運動,請直接寫出點G運動路徑的長.

,D是BC的中點.

【分析】(1)由OA=3,tan∠OAC=

,得OC=

,由四邊形OABC是矩形,得BC=OA=3,

所以CD=BC=,求得D(,);

(2)①由易知得ACB=∠OAC=30°,設將△DBF沿DE所在的直線翻折后,點B恰好落在AC上的

B'處,則DB'=DB=DC,∠BDF=∠B'DF,所以∠BDB'=60°,∠BDF=∠B'DF=30°,所以BF=BD?tan30°=

,AF=BF=

,因為∠BFD=∠AEF,所以∠B=∠FAE=90°,因此△BFD≌△

AFE,AE=BD=,點E的坐標(,0);

2

②動點P在點O時,求得此時拋物線解析式為y=﹣x+x,因此E(,0),直線DE:y=﹣

x+,F1(3,);當動點P從點O運動到點M時,求得此時拋物線解析式為y=﹣

x+

2

x+,所以E(6,0),直線DE:y=﹣x+,所以F2(3,);所以





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