配套k12學習高中數學第三章柯西不等式與排序不等式3.2一般形式的柯西不等式試題新人教A版選修4 - 5 - 下載本文

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二 一般形式的柯西不等式

課后篇鞏固探究

A組

1.已知a,b,c均大于0,A=,B=,則A,B的大小關系是( )

A.A>B C.A

2

2

B.A≥B D.A≤B

2

2

2

2

2

解析因為(1+1+1)·(a+b+c)≥(a+b+c),

所以,當且僅當a=b=c時,等號成立.

又a,b,c均大于0,所以a+b+c>0,

所以答案B 2.若x+y+z=1,則x+y+A.2 C.

B.4 D.8

2

2

2

2

2

.

z 的最大值等于( )

解析由柯西不等式,可得[1+1+()](x+y+z)≥(x+y+2222

z)2,即(x+y+z)2≤4,因此

z的最大值等于2.

x+y+z≤2當且僅當x=y=,即x=,y=,z=時,等號成立,即x+y+答案A 3.已知+…+=1,+…+=1,則a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是( )

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A.1 C.3

B.2 D.4

解析∵(a1x1+a2x2+…+anxn)≤(值是1. 答案A 2

+…+)×(+…+)=1×1=1,∴a1x1+a2x2+…+anxn的最大

4.設a,b,c均為正數且a+b+c=9,則A.81 C.9

B.49 D.7

的最小值為( )

解析由柯西不等式,可得

(a+b+c)·

,即a=2,b=3,c=4時,等號成立,故所求最小值為9.

答案C 5.已知x,y是實數,則x+y+(1-x-y)的最小值是

2

2

2

·81=9,當且僅當

( )

A. B. C.6 D.3

解析由柯西不等式,得

(1+1+1)[x+y+(1-x-y)] ≥[x+y+(1-x-y)]=1,

2

2

2

2

2

2

2

即x+y+(1-x-y)≥,

222

當且僅當x=y=1-x-y,即x=y=時,x+y+(1-x-y)取得最小值. 答案B 222

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6.已知a,b,c>0,且a+b+c=1,則解析由柯西不等式,得(

)

2

的最大值為 .

=(1×2

2

2

+1×+1×)

2

≤(1+1+1)(4a+1+4b+1+4c+1)

=3[4(a+b+c)+3]=21.

當且僅當a=b=c=時,取等號. 故答案

的最大值為

.

7.設a,b,c是正實數,且a+b+c=9,則的最小值為 .

解析因為(a+b+c)

=[()+(

2

)+(

2

)]

2

=18,

所以答案2 ≥2當且僅當,即a=b=c=3時,等號成立,故的最小值為2.

8.設a,b,c,x,y,z都是正數,且a+b+c=25,x+y+z=36,ax+by+cz=30,則

2

2

2

2

2

2

2

2

222222

= .

解析由柯西不等式知25×36=(a+b+c)·(x+y+z)≥(ax+by+cz)=30=25×36,當且僅當

=k時,等號成立.

由k(x+y+z)=25×36,解得k=,

22222

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所以=k=.

答案

9.已知a+b+c=1,且a,b,c是正數,求證證明左邊≥9.

=[2(a+b+c)]=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]≥(1+1+1)=9.2

當且僅當a=b=c=時,等號成立,故原不等式成立. 10.已知x,y,z∈R,且x-2y-3z=4,求x+y+z的最小值.

解由柯西不等式,得[x+(-2)y+(-3)z]≤[1+(-2)+(-3)](x+y+z),即(x-2y-3z)≤14(x+y+z),所以16≤14(x+y+z).

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

因此x+y+z≥,當且僅當x=222

,即當x=,y=-,z=-時,x+y+z的最小值為. B組

222

1.已知x+y+z=1,則x+2y+2z的最大值為( ) A.1

B.2

C.3

D.4

222

解析由柯西不等式,得

(x+2y+2z)≤(1+2+2)(x+y+z)=9, 所以-3≤x+2y+2z≤3.

2

2

2

2

2

2

2

當且僅當|x|=時,等號成立.

所以x+2y+2z的最大值為3. 答案C 配套K12學習(小初高)

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2.等于( ) A.C.13

導學號26394054已知a,b,c為正實數,且a+2b+3c=9,則的最大值

B.D.18

解析當且僅當

時,等號成立

答案A ,故最大值為.

3.設a,b,c為正數,則(a+b+c)的最小值是 .

解析(a+b+c)

=[()+(

2

)+(

2

)]·

2

=(2+3+6)2=121.

當且僅當答案121 時,等號成立.

4.設x,y,z∈R,2x+2y+z+8=0,則(x-1)+(y+2)+(z-3)的最小值為 . 解析2x+2y+z+8=0?2(x-1)+2(y+2)+(z-3)=-9.

考慮以下兩組向量:u=(2,2,1),v=(x-1,y+2,z-3),由柯西不等式,得(u·v)≤|u|·|v|,即[2(x-1)+2(y+2)+(z-3)]≤(2+2+1)·[(x-1)+(y+2)+(z-3)].所以(x-1)+(y+2)+(z-2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222

3)≥答案9 2

=9,當且僅當x=-1,y=-4,z=2時,等號成立,此時取得最小值9.

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5.導學號26394055已知x1,x2,x3,x4為實數,且x1+x2+x3+x4=6,=12,求

證0≤xi≤3(i=1,2,3,4). 證明由柯西不等式,得

(x2+x3+x4)≤(1+1+1)(由題設條件,得

2

),

x2+x3+x4=6-x1,=12-,

代入上式,得(6-x1)≤3(12-),

2

∴36-12x1+≤36-3,

∴4-12x1≤0,∴0≤x1≤3,

同理可證0≤xi≤3(i=2,3,4). 綜上所述,0≤xi≤3(i=1,2,3,4). 6.定e的最大值.

解由已知,得a+b+c+d=8-e,a+b+c+d=16-e,所以(8-2

2

2

2

2

導學號26394056設實數a,b,c,d,e滿足a+b+c+d+e=8,且a+b+c+d+e=16,試確

22222

e)2=(a+b+c+d)2≤(a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)=4(16-e2),化簡,得5e2-16e≤0?0≤e≤

,故emax=.

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